ANSYS高级分析：优化设计（三）-优化算法

　　1、引言

　　ANSYS程序最常见的优化算法有零阶方法，一阶方法，随机搜索法，等步长搜索法，乘子计算法和最优梯度法。本篇仅作简单描述，更多的细节参见ANSYS Theory Reference chapter 20。要想深刻的了解这些算法，需要具有一定数学知识，并有一定的兴趣爱好才能精下心了好好的理解和学习这一部分的理论性内容，但这也是快速提升自己水平的好途径。

　　2、优化算法简介

　　2.1 零介方法

　　零阶方法之所以称为零阶方法是由于它只用到因变量而不用到它的偏导数。在零阶方法中有两个重要的概念：

　　1)目标函数和状态变量的逼近方法;

　　2)由约束的优化问题转换为非约束的优化问题。

　　逼近方法是指程序用曲线拟合来建立目标函数和设计变量之间的关系。这是通过用几个设计变量序列计算目标函数然后求得各数据点间最小平方实现的。该结果曲线(或平面)叫做逼近。每次优化循环生成一个新的数据点，目标函数就完成一次更新。实际上是逼近被求解最小值而并非目标函数。状态变量也是同样处理的。每个状态变量都生成一个逼近并在每次循环后更新。用户可以控制优化近似的逼近曲线。可以指定线性拟合，平方拟合或平方差拟合。缺省情况下，用平方差拟合目标函数，用平方拟合状态变量。用下列方法实现该控制功能：

　　Command: OPEQN

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Method/Tool

　　转换为非约束问题的原因是状态变量和设计变量的数值范围约束了设计，优化问题就成为约束的优化问题。ANSYS程序将其转化为非约束问题，因为后者的最小化方法比前者更有效率。转换的实现方法是通过对目标函数逼近加罚函数的方法计入所加约束的。

　　收敛检查：前面的或最佳设计是合理的而且满足下列条件之一时，问题就是收敛的：

　　1)目标函数值由最佳合理设计到当前设计的变化应小于目标函数允差。

　　2)最后两个设计之间的差值应小于目标函数允差。

　　3)从当前设计到最佳合理设计所有设计变量的变化值应小于各自的允差。

　　4)最后两个设计所有设计变量的变化值应小于各自的允差。

　　但收敛并不代表实际的最小值已经得到了，只说明以上四个准则之一满足了。因此，用户必须确定当前设计优化的结果是否足够。如果不足的话，就要另外做附加的优化分析。

　　对于零阶方法，优化处理器开始通过随机搜索建立状态变量和目标函数的逼近。由于是随机搜索，收敛的速度可能很慢。用户有时可以通过给出多个合理的起始设计来加速收敛。只简单的运行一系列的随机搜索并删除所有不合理的设计。也可以运行多次单独的循环，并在每次运行前指定新的设计变量序列来生成起始设计序列。

　　2.2 一阶方法

　　一阶方法同零阶方法一样，一阶方法通过对目标函数添加罚函数将问题转换为非约束的。但是，与零阶方法不同的是，一阶方法将真实的有限元结果最小化，而不是对逼近数值进行操作。

　　一阶方法使用因变量对设计变量的偏导数。在每次迭代中，梯度计算(用最大斜度法或共轭方向法)确定搜索方向，并用线搜索法对非约束问题进行最小化。因此，每次迭代都有一系列的子迭代(其中包括搜索方向和梯度计算)组成。这就使得一次优化迭代有多次分析循环。

　　OPFRST命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)有两个输入域可以用来改善一阶方法的收敛。用户可以指定计算梯度的设计变量范围变化程度，也可以指定线搜索步长的范围。一般来说，这两个输入值的缺省数值就足够了。见ANSYS Theory Reference。

　　一阶方法在收敛或中断时结束。当当前的设计序列相对于前面的和最佳序列满足下面任意一种情况时，问题就称为收敛：

　　1)目标函数值由最佳合理设计到当前设计的变化应小于目标函数允差。

　　2)从当前设计到前面设计目标函数的变化值应小于允差。

　　3)同时要求最后的迭代使用最大斜度搜索，否则要进行附加的迭代。

　　与零阶方法相比，一阶方法计算量大且结果精确。但是，精确度高并不能保证最佳求解。一阶方法可能在不合理的设计序列上收敛。这时可能是找到了一个局部最小值，或是不存在合理设计空间。如果出现这种情况，可以使用零阶方法，因其可以更好的研究整个设计空间。也可以先运行随机搜索确定合理设计空间(如果存在的话)，然后以合理设计序列为起点重新运行一阶方法。一阶方法更容易获得局部最小值。(见后面“局部和全局最小值”的说明。)这是因为一阶方法从设计空间的一个序列开始计算求解，如果起点很接近局部最小值的话，就会选择该最小值而找不到全局最小值。

　　2.3 随机搜索法

　　随机搜索法[OPTYPE，RAND]，程序完成指定次数的分析循环，并在每次循环中使用随机搜索变量值。用户可以用OPRAND命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)指定最大迭代次数和最大合理设计数。如果给出了最大合理设计数，在达到这个数值时循环将终止，而忽略最大迭代次数是否达到。

　　随机搜索法往往作为零阶方法的先期处理。它也可以用来完成一些小的设计任务。例如可以做一系列的随机搜索，然后通过查看结果来判断当前设计空间是否合理。

　　2.4 等步长搜索法

　　等步长搜索法[OPTYPE，SWEEP]用于在设计空间内完成扫描分析。将生成n*NSPS个设计序列，n是设计变量的个数，NSPS是每个扫描中评估点的数目(由OPSWEEP命令指定)。对于每个设计变量，变量范围将划分为NSPS-1个相等的步长，进行NSPS次循环。问题的设计变量在每次循环中以步长递增，其他的设计变量保持其参考值不变。设计序列中设计变量的参考值用OPSWEEP命令的Dset指定(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)。

　　用下列方法图示设计变量数值和响应变量的数值关系：

　　Command: OPLSW

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Sweeps

　　2.5 乘子计算法

　　乘子计算法[OPTYPE，FACT]用二阶技术生成设计空间上极值点上的设计序列数值。(这个二阶技术在每个设计变量的两个极值点上取值。)可以用OPFACT命令(Main Menu>Design Opt>Method/Tool)指定是完成整体的还是部分子的评估。对于整体评估，程序进行2n次循环，n是设计变量的个数。1/2部分的评估进行2n/2次循环，依此类推。

　　可以用棒式图和表格显示目标函数或状态变量的某些方面。例如，可以图示每个设计变量对目标函数的主要作用。用户同样可以查看两个和三个变量之间的互相作用。

　　用下列命令显示棒式图：

　　Command: OPLFA

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Factorial

　　2.6 最优梯度法

　　最优梯度法[OPTYPE，GRAD]计算设计空间中某一点的梯度。梯度结果用于研究目标函数或状态变量的敏感性。用下列方式指定在哪个设计序列计算梯度：Command: OPGRAD

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Method/Tool

　　用户可以用图显示设计变量和响应变量的数值。纵坐标表示目标函数或状态变量的实际数值。横坐标表示设计变量一个小的(1%)变化值。用下列方法列表表示结果：

　　Command: OPRGR

　　GUI: Main Menu>Design Opt>Tool Results>Print

　　3、本篇总结

　　本篇介绍了ANSYS优化设计模块集成的优化设计算法的基本思想，对想要进行学习和研究ANSYS优化设计的人来说，深刻的理解了这些算法才能更好的将优化设计应用于工程问题的分析，并且能够将自己的优化思想转换成优化算法集成到ANSYS平台下，为自己的分析服务。