多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法

1 前言
多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前，其优点在于对合成速度进行控制，不影响位置精度，但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制，由于各轴之间没有协调关系，因此，合成位置可能不准确。
 
S曲线加减速通常用于后加减速处理，我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时，将其应用于前加减速处理，取得了很好的效果。
2 多轴联动的线性插补S加减速
S曲线加减速规划是指在加减速时，使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数，通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外，通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定，可实现柔性加减速控制，以适应不同种类机床的工况。
设在n维线性插补数控程序中，任意一段插补数据为
| P1, P2, …，Pn, F |
其中：F为合成速度，P1～Pn为各插补轴当前段的位移。
根据线性插补原理，各插补轴的位移与速度比相等，则有应于各插补轴的分速度。令 |Pi| = P =TSEP      i=1, 2, …, n
 
Fi F
 (1)

图1 “S加减速”规划原理图

 
式中：P=(Pi2)½表示合成位移；TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；F1～F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。
令 Ki= Pi       i=1, 2, …, n
 
P
 (2)

则 Fi=KiF      i=1, 2, …, n (3)

在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段(1, 2, 3区)，匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区)：变加减速区，|da/dt|=J, Jerk为恒值；恒加减速区，|a|=A，加速度为恒值，匀速段(4区)的速度为恒值Vc。
各轴的运动参量成比例
对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开，令∆t=t-tx，有 v(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2 (4)
同理，各插补轴对应．点速度 vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n (5)

根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系： vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n (6)

对于上面恒等式，应有 vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx) (7)

由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按S曲线进行加减速，即S曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
S加减速的插补递推公式
设插补周期为T，则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为 Sk = ∫ tk v(t)dt= ∫ tk-1 v(t)dt+ ∫ tk-1+T v(t)dt=Sk-1 ∫ t (vk-1+ak-1t+½Jt2)dt =Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
0 0 tk-1 0
 
 (8)

第k个插补周期内的合成位移增量为 ∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT (9)
ak=ak-1+(1/3)JT (10)
vk=vk-1+(1/2)akT (11)
注意，上述递推公式是分区适应的，即 J= { J, T∈[t0，t1]∪t6，t7
0, t∈(t1，t2)∪(t3，t4)∪(t5，t6)
-J, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
 (12)

只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为 ∆Pik= Pi ∆Sk=Ki∆Sk
 
P
 (13)
区间的判别
段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。
1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13，其加速度a1=A=Jts，速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats，则 ts=t1=A/J (14)

由图1中的加速度图线可以看出 V=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl) (15)

则 tl=(V/A)-(A/J) (16)
ta=2ts+tl=(V/A)+(A/J) (17)
由ts、tl、tm可计算出t0～t7的时间，并以此进行区间判别。
终点判别
终点距离∆S及各轴距终点距离∆Si

图2 插补计算流程框图

 
∆S=P- k ∆Sk
∑
1
 (18)
∆Si=Pi- k ∆Pik
∑
1
 (19)

3 算法描述
加减速的规划在插补预处理中进行。
读入A、J、V、Pi。
计算ki，计算出的各轴的速度和加速度将与各轴的极限值比较，如果超出极限值，修正V。
扫描速度倍率K，令V=KV。
初始化，t0=O，∆Si=Pi。
速度规划，计算tl、ts、tm。
置速度规划完成标志。
插补。
插补的计算流程框图如图2所示，插补预处理的加减速规划中，已得出各区的时间范围，插补时只需判断当前插补周期所在区间，即可按插补迭代公式计算出各插补轴与速度规划适应的位移增量，从而实现其加减速。
4 结语
本文给出了基于速度S曲线加减速规划的插补迭代算法，并应用于前加减速处理。虽然只考虑了一般情况下的段内加减速，但其思想和方法对更复杂的段内加减速和段间加减依然适用。本文给出的算法可采用加速度和加速度导数编程，能最大限度地适应各类数控机床的加工工况，同时，本算法也非常简洁和易于实现。