利用ANSYS的杯形柔轮结构参数对柔轮应力的敏感度分析

　　0 前言

　　杯形谐波减速器依靠薄壁柔轮的弹性变形来进行传动，具有传动比大、体积小等优点，在各种机器人及精密机械传动等方面具有广泛的应用，而且在宇航空间机构中也得到越来越多的应用。如果能够进一步减小谐波减速器的体积，那么宇航空间机构中传动机构的体积也将减小，从而降低整个宇航空间机构的体积和质量。

　　为了满足空间环境、机器人、伺服控制系统等对谐波减速器中柔轮轴向尺寸小的要求，日本、美国和俄罗斯等国展开了研究，并取得了相应的成果。我国的谐波传动技术与国外相比还有一定的差距，特别在短杯谐波的研制和在空间机构环境中的应用方面差距更大，短杯柔轮的谐波减速器目前处于研发阶段，未见有产品应用的实例。

　　决定杯形谐波减速器寿命的核心部件是薄壁柔轮，JOHN减小杯形谐波减速器的体积也主要是通过缩短柔轮的长度来实现，因此，研究柔轮的关键结构参数对柔轮的应力影响规律是对柔轮结构进行优化设计和改进的重要前提条件，同时也是综合分析柔轮应力的基础;在不同的温度下分析柔轮的热和结构耦合应力，确定谐波传动能够承受的环境温度，可为杯形谐波传动应用于宇航空间机构提供依据。

　　预期通过基于ANSYS的杯形柔轮结构参数对柔轮应力的敏感度分析，确定短杯柔轮各主要的参数的取值范围，然后利用优化设计得到短杯柔轮的结构参数，按照该参数加工出一套短杯谐波减速器，对其性能进行试验测试，并将试验结果与正常杯形的谐波减速器进行比较，期望得到町用于实际工况的短杯谐波减速器。因此，分析柔轮关键结构参数对柔轮应力的影响以及热与结构耦合情况下柔轮的接触应力分析具有重要意义。

　　1 柔轮与波发生器参数化等效接触模型

　　1.1参数化等效接触模型的开发

　　如果对不同型号的柔轮与波发生器进行有限元接触分析，以及改变柔轮关键结构参数对柔轮最大等效应力的影响分析，总共需要计算分析几十次。如果每分析一次就建立一个新模型进行单元类型定义、网格划分、施加约束和载荷，最后进行分析，那么分析的工作量是不可想象的。因此，有必要对柔轮和波发生器的接触模型进行参数化建模，并自动完成网格划分和分析。

　　如果建立的接触模型是带有轮齿的，那么网格划分、计算的工作量也是很大的，因此，需要对柔轮的轮齿部分的壁厚进行等效处理。对于柔轮轮齿部分壁厚的等效处理方法是，采用将轮齿部分简化为具有一定厚度的光滑圆环来代替轮齿部分的壁厚。齿圈壁厚处的抗弯刚度约为齿根处光滑环处的1.67倍。因为齿圈壁厚处的抗弯刚度与壁厚的三次方成正比，所以，可以对齿圈壁厚进行等效，等效后的齿圈壁厚应为齿根处光滑环壁厚的倍。柔轮在静载时属于空间对称和载荷对称情况，所以可以针对柔轮的四分之一模型进行分析，节约了计算时间。

　　等效处理后，柔轮所受的最大应力称为柔轮最大等效应力，柔轮光滑圆筒所受最大应力称为柔轮光滑圆筒部分最大等效应力。

　　进行有限元建模时，采用自底向顶的建模方式，这种方法是指创建模型时首先通过最低级图元关键点来创建高级图元线，再由线创建面，由面创建体的一种建模方法，这种方法的最大好处就是模型比较容易实现参数化。通过这种建模方法实现了四分之一柔轮和波发生器等效接触模型的参数化，并使用ANSYS的APDL语言编写了柔轮与波发生器参数化等效接触模型的程序。

　　为提高计算速度，在建立ANSYS的柔轮与椭圆凸轮的接触分析模型时，通用的做法是忽略柔性薄壁轴承的影响，将波发生器看作刚体，用一个与波发生器轮廓线和轴向长度相同的刚性柱面来代替。波发生器采用椭圆波发生器形式，属双波传动，柔轮与波发生器的接触结构图如图l所示。

　　 

　　图1 柔轮与波发生器的接触结构图

　　对四分之一柔轮与波发生器的等效接触模型施加约束和载荷;对波发生器的内孔和柔轮的后端圆孔施加固定约束，波发生器与柔轮的四分之一两截面施加对称约束。安装波发生器与柔轮时，保证准确的过盈量，波发生器的长轴为，短轴为。其中以为柔轮内径，为径向变形系数，取值为l，m为柔轮模数，柔轮与波发生器的等效接触模型如图2所示。

　　 

　　图2 柔轮与波发生器的等效接触模型图

　　考虑到柔轮和波发生器作用的复杂性，很难确认作用时力的分布，也很难确认柔轮内壁位移分布，因此考虑使用接触分析。柔轮和波发生器接触时，将柔轮和波发生器的装配模型视作一个“刚体一柔体”的“面一面”接触模型。波发生器作为目标面，单元类型选用Targel70，柔轮内壁作为柔性接触面，单元选用Contactl74。柔轮的最大径向变形与柔轮壁厚比大于0.2，是一个大变形非线性问题，因此求解选项设置为大变形结构分析。为了提高分析精度，防止出现不收敛，打开自动载荷步选项，并设置载荷步为4，最大载荷步为20，最小为1。图3为通过参数化界面输入参数之后生成的32机型的柔轮与波发生器等效接触模型的模型图、网格图、等效应力云图和变形云图。

　　 

　　图3 柔轮与波发生器的等效接触模型图、网格划分图、应力云图和变形云图

　　1.2参数化等效接触模型的验证

　　按照上述的基本参数计算完成之后，在PRO/E中建立了与图4所示32机型谐波减速器具有相同参数、但是带有轮齿的模型，然后导入ANSYS软件中，按照前述方法进行了单元类型和材料属性定义、网格的划分、约束载荷和接触对的创建，最后进行设置求解。分析完成的等效应力云图和变形云图如图4所示。

　　 

　　图4 柔轮与波发生器接触模型的应力云图和变形云图

　　通过带有轮齿的模型和等效接触模型的分析结果可见，在没有对轮齿进行等效处理时柔轮的最大变形和最大等效应力分别是0.233 666 113/11和319.241 MPa;等效接触模型的柔轮的变形和应力分别是0.252 757 mm和325.200 MPa。相对误差较小，而且变形云图和应力云图的分布也极其类似，从而验证了柔轮与椭圆波发生器参数化等效接触模型的准确性。

　　通过上述分析可以看出，柔轮的最大应力出现在长轴附近齿宽中间的偏后侧，并且柔轮所受的应力趋势呈现近似45°斜向扩展。这与早期的柔轮疲劳断裂的试验结论是基本一致的。

　　1.3不同型号柔轮与波发生器作用的接触分析

　　柔轮的受力模型基于弹性薄壳理论，处在一种交变应力状态下，所受的应力为周向正应力，轴向正应力，切应力。轴向正应力相对周向正应力较小，可以忽略不计，则柔轮处在由弯矩引起的周向正应力和切应力的共同作用下，所以可以使用第三强度理论进行计算。

　　利用第三强度理论和前面建立的柔轮与波发生器的等效接触模型，对常规25～60机形的杯形柔轮(25～60型号的杯形谐波减速器，其结构形式是一样的，只是其结构尺寸不同，其型号的定义主要是根据柔性轴承的外径，即柔轮的内径确定的，如柔性轴承的外径为40 mm，那么就叫做40型号杯形谐波减速器)进行理论经验公式计算和有限元分析，得到的理论计算结果和有限元分析结果如下表所示。

　　表1 不同型号柔轮的最大应力

　　 

　　通过对理论经验公式和有限元分析计算的比较，可以看出以下几点。

　　(1)有限元的分析结果高于理论经验公式计算结果，这是因为理论经验公式做了各种假设和简化，并且使用修正系数进行修正。数据分析结果表明，有限元分析结果的曲线变化规律与理论计算结果的变化规律基本一致，即有限元的分析结论可信。

　　(2)随着杯形谐波柔轮型号的增加，柔轮所受的最大应力逐渐降低，寿命逐渐加长，即小型号的谐波减速器的寿命相对较低。所以在选用谐波型号的时候，如果结构尺寸允许，选择型号相对较大的谐波减速器能保证较长的寿命。

　　2 柔轮关键结构参数对柔轮应力的敏感度分析

　　为进行柔轮几何参数的优化设计，应首先了解柔轮各个几何参数对柔轮工作性能的影响，根据柔轮结构特点和参数取值范围，选择了对柔轮工作性能最有影响的几个参数进行分析，这些参数主要包括图1所示的柔轮筒长l，、齿圈壁厚、光滑圆筒壁厚、齿宽b、柔轮圆角半径

。本文以32机型为例使用自行编制的柔轮与波发生器等效接触模型的参数化程序分析各个参数对柔轮应力的敏感度。最主要的是柔轮各个关键结构参数对发生在柔轮齿圈处的最大等效应力的影响，光滑圆筒部分虽不是最大等效应力产生之处，但它也是柔轮容易发生破坏之处，另外，为了进一步与齿圈处最大等效应力形成对比，本文也给出了光滑圆筒部分最大等效应力随柔轮关键结构参数的变化曲线图。

　　2.1筒长l对柔轮应力的影响

　　筒长，是柔轮最为关键的结构参数，对柔轮应力影响也较为明显。本文确定32机型柔轮筒长的分析范围是11～35 mm，单独改变柔轮简长，分析结果的拟和曲线如图5所示。由图5可见，随着柔轮筒长的增大，柔轮的最大等效应力呈显著下降趋势，柔轮筒长在11～20 mm区间内，也就是长径比在0.35～0.60区间，最大等效应力急剧下降;在轮筒长为20～25 mm区间时，也就是长径比为0.6～0.8区间，最大等效应力下降趋势渐缓;在大于25 mm之后，也就是长径比大于0.8以后，最大等效应力下降趋势更缓，并逐渐趋近一个恒定值。还可以看出，光滑圆筒部分的最大等效应力与齿圈部分最大等效应力具有相似的趋势。

　　 

　　图5柔轮筒长对柔轮应力影响曲线

　　2.2齿圈壁厚对柔轮应力的影响

　　确定32机型柔轮的齿圈壁厚的分析范围是0.25～0.70 mm，单独改变齿圈壁厚，分析结果的拟和曲线如图6所示。由图6可见，柔轮齿圈壁厚增大时，柔轮最大等效应力先减少后增大，从0.25～0.40 mm是减小趋势，之后开始增加，但趋势并不是很急剧。而光滑圆筒部分的最大等效应力则几乎成直线增加的趋势。

　　 

　　图6 柔轮齿圈壁厚对柔轮应力影响曲线

　　2.3光滑圆筒壁厚6对柔轮应力影响

　　确定32机型柔轮的光滑圆筒壁厚的分析范围是0.1～0.4 mm，单独改变光滑圆筒壁厚，分析结果的拟和曲线如图7所示。

　　 

　　图7 柔轮光滑圆筒壁厚对柔轮应力影响曲线

　　由图7可见，随着光滑圆筒壁厚的增加，柔轮的最大等效应力呈先减少后又增大的趋势，但曲线并不是很平滑。而光滑圆筒部分的等效应力则呈逐渐下降的趋势，曲线比较平滑。

　　2.4齿圈宽度b对柔轮应力的影响

　　32机型柔轮的齿宽的分析范围确定为5～11 mm，单独改变齿宽，分析结果的拟和曲线如图8所示。由图8可见，齿宽对柔轮最大等效应力的影响是先下降后又逐渐增加趋势，但是影响程度并不是很剧烈，而光滑圆筒部分的等效应力则随着齿宽的增加呈急剧下降的趋势，到10 mm之后又有所回升，并且曲线较为平滑。这主要是因为在筒长不变的情况下，齿宽增大，相当于减小光滑圆筒部分的长度，即增大了光滑圆筒部分的刚度，所以光滑圆筒部分的最大应力随齿宽的增大而减小。

　　2.5圆角半径对柔轮应力的影响

　　确定32机型柔轮的圆角半径的分析范围为0.25～2.50 mm，的分析范围为0.15～3.00 mm，的分析范围为0.15～2.50 mm。分析结果的拟合曲线如图9所示。

　　

　　 

　　图9圆角半径对柔轮应力影响曲线

　　通过比较圆角半径对柔轮最大等效应力和柔轮光滑圆筒部分最大等效应力的影响，可以看出三处圆角的变化对柔轮最大等效应力的影响不大，而三处圆角变化对光滑圆筒部分最大等效应力的影响相对较大，对其影响趋势是先增加后减少的趋势;对其呈递增趋势影响;除了不能小于0.25外，对其整体影响呈较为平滑趋势。但对光滑圆筒部分等效应力的影响相对于柔轮最大等效应力来说要小很多。

　　总结32机型柔轮关键结构参数对柔轮齿圈部分和光滑圆筒部分所受的最大应力的分析结果，可以得出以下结论。

　　(1)柔轮的结构参数中，柔轮的筒长对柔轮的应力影响最为明显，但从长径比为0.6开始应力的变化开始变得特别平缓。

　　(2)柔轮齿圈壁厚和柔轮的光滑圆筒壁厚对柔轮的最大应力的影响趋势都不具有单调性，呈现出先减少后增加的趋势。

　　(3)柔轮的圆角半径不能小于0.25，否则会造成圆筒部分的应力集中。柔轮齿宽的变化对柔轮最大应力和光滑圆筒最大应力的影响呈相反趋势。

　　(4)柔轮的筒长、齿圈壁厚、光滑圆筒壁厚、齿圈宽度对柔轮的应力影响较为明显，敏感度较高，而三处的圆角除不能小于0.25之外，整体来说这三个参数对柔轮应力影响不大。

　　对25～60型号的杯形谐波减速器也按照上述过程进行了分析，得到类似的结果。

　　3 柔轮热与结构耦合的有限元分析

　　当杯形谐波减速器用于宇航空间机构时，由于环境温度的变化，使得谐波减速器工作在高低温环境中。因此，对柔轮进行不同温度条件下的热与结构耦合分析，可以为柔轮在高低温环境下的失效提供一定的依据。

　　在热与结构耦合的情况下对柔轮进行有限元接触分析涉及到柔轮与刚轮的接触问题。由于柔轮与刚轮的齿数较多，而齿也很小，平均参与啮合的齿数约为总齿数的30%～40%。如果每个接触的齿都建立接触对，那么其计算量是不可想象的。所以需要对柔轮与刚轮的接触模型进行简化。常规齿轮的轮齿进行接触的时候是在节圆处进行啮合的。柔轮受波发生器作用后完全啮合的轮齿应该刚好在节圆处啮合。所以本文把刚轮与柔轮的轮齿简化掉，柔轮与刚轮的间隙刚好是柔轮受到波发生器作用后，柔轮所伸长的最大距离。简化之后建立模型，然后分别定义柔轮、刚轮与波发生器的线膨胀系数与热导率。最后施加不同的温度载荷进行多次接触分析。温度为100℃情况下32机型谐波减速器柔轮、波发生器、刚轮三大件共同作用时的应力云图与变形云图如图10所示。

　　 

　　图10 三大件共同作用时的应力和变形云图

　　在温度区间为-60～120℃情况下对32机型杯形谐波减速器的三大件进行有限元接触分析，分析结果如图11所示。

　　 

　　图11 柔轮最大应力随温度的变化曲线

　　通过曲线可以看出以下几点。

　　(1)当温度从-60～120℃变化的过程中，在温度区间-60～0℃内，柔轮所受的应力基本上没有变化：从0℃开始，随着温度的增加，应力急剧增加。可以看出高温对柔轮的应力影响特别明显。

　　(2)按照目前柔轮的常用材料，以合金钢35CrMnSiA和40CrNiMoA来说，经过热处理以后材料的屈服强度能够达到960 MPa左右，如果取安全系数为1.5，则材料的需用应力为640 MPa，那么对于32杯形的柔轮来说，工作温度应该不宜超过120℃。

　　4 结论

　　(1)使用有限元软件ANSYS的APDL语言开发了柔轮与波发生器的参数化等效接触模型，将模型的分析值与经验理论公式计算值进行了比较，从而验证了柔轮与椭圆波发生器的参数化等效接触模型的准确性。利用等效模型分析了25～60机型5个不同型号的柔轮在波发生的作用下所受到的应力，描述了柔轮的最大等效应力随柔轮型号的变化规律。

　　(2)以32杯形柔轮为例进行了有限元接触分析，分析了柔轮的关键结构参数对柔轮应力的影响敏感度，为柔轮的结构参数优化设计提供了一定的依据。

　　(3)在热和结构耦合的情况下对柔轮与刚轮的接触模型进行了简化，以32杯形谐波减速器为例进行了接触分析，给出了柔轮最大应力随温度的变化曲线。为研究柔轮在高低温环境下的失效提供了一定的依据。